Na semana passada, OpenAI chocou a comunidade matemática ao revelador que um de seus internos inteligência synthetic modelos encontraram um contra-exemplo a uma famosa conjectura feita pelo lendário matemático húngaro Paul Erdős em 1946.
O problema da distância unitária planar, ou Problema de Erdős 90intrigou os matemáticos por décadas. O novo resultado não é mera curiosidade. O matemático canadense Daniel Litt descrito é “o primeiro resultado produzido autonomamente por uma IA que considero interessante por si só”.
A inovação, produzida com um modelo de IA de uso geral, em vez de um especializado em matemáticatambém destaca como a IA está mudando a própria pesquisa matemática. Dias depois do artigo da OpenAI, o matemático norte-americano Will Sawin seguiu a mesma linha de raciocínio para um resultado melhorado. Também na semana passada, uma equipe do Google DeepMind usou um de seus próprios modelos para resolver nove problemas menos abertos deixado por Erdős.
Ao mesmo tempo, resultados como este mostram-nos em que tipo de matemática os atuais modelos de IA são bons – e onde as suas capacidades ainda são incertas.
Pontos e Linhas
Paul Erdős foi um dos matemáticos mais prolíficos do século XX. Ele period famoso por fazer perguntas aparentemente simples, cujas soluções muitas vezes resistiram a décadas de esforço.
À primeira vista, o problema subjacente parece relativamente simples. Suponha que você tenha algum número de pontos – ligue para o número n– desenhado em um pedaço de papel infinitamente grande. Dado que você pode organizar os pontos da maneira que desejar, quantos pares de pontos podem ser posicionados exatamente a uma unidade de distância um do outro?
Se você mesmo tentar esse problema (em um pedaço de papel presumivelmente finito), poderá rapidamente gravitar em direção a uma grade quadrada como uma candidata promissora para o melhor arranjo. O espaçamento da grade cria naturalmente muitos pares separados por uma distância common.
Uma grade quadrada parece intuitivamente uma boa solução para o problema da distância unitária planar. OpenAI
Essa intuição influenciou grande parte do pensamento inicial sobre o problema. À medida que o número de pontos aumenta, os arranjos em forma de grelha continuam a parecer notavelmente eficazes.
Durante décadas, acreditou-se amplamente que essas estruturas altamente regulares eram as melhores possíveis. O próprio Erdős conjecturou que nenhuma construção poderia melhorar substancialmente estes arranjos intuitivos, mesmo para um número extremamente grande de pontos. (O novo melhor resultado, de Sawin, supostamente só começa a produzir melhorias por cerca de 102.000.000 pontos – é um seguido por dois milhões de zeros.)
Nos últimos 80 anos, os matemáticos tentaram provar que Erdős estava certo ou errado. Seus esforços vincularam o problema a outras áreas da matemática chamadas geometria de incidência, teoria dos grafos e combinatória extrema. Embora uma prova completa permanecesse indefinida, havia um sentimento geral de que a conjectura de Erdős period provavelmente verdadeira.
No entanto, o recente avanço da OpenAI provou que a intuição de Erdős estava errada. O novo resultado usa ferramentas de uma área da matemática chamada teoria algébrica dos números para mostrar que existem padrões de pontos que envolvem muito mais pares de distâncias unitárias do que a grade quadrada, para um número infinito de valores de n.
Sem hesitação
Em um artigo que a OpenAI publicou junto com o novo artigo, vários matemáticos importantes comentou sobre o resultado.
O medalhista Fields, Timothy Gowers, escreveu que se um pesquisador humano tivesse submetido o artigo com este resultado à prestigiada revista Anais de Matemáticaele teria recomendado a publicação “sem qualquer hesitação”. Ele também acrescentou que nenhuma prova anterior gerada por IA chegou perto deste nível de sofisticação.
Este avanço também representa o primeiro grande problema matemático aberto resolvido com IA com intervenção humana mínima além do immediate inicial. O documento que acompanha mostra a sugestão dada ao modelo, bem como uma recontagem da “cadeia de pensamento” conduzida pelo modelo.
Isto renovou questões mais amplas sobre as capacidades da IA para auxiliar e realizar pesquisas matemáticas.
Três chaves para a pesquisa matemática
Pesquisadores matemáticos têm usado computadores há muito tempo, mas seu trabalho raramente é conduzido apenas pela computação. A maioria dos grandes avanços emerge de uma combinação delicada de três coisas: conhecimentos especializados desenvolvidos ao longo dos anos, esforço sustentado para aplicar esses conhecimentos de forma criativa para explorar ideias (muitas das quais acabam por ser becos sem saída) e saltos conceptuais ocasionais que subitamente reorganizam a forma como um problema é entendido.
Os dois primeiros são domínios onde os modelos de IA se destacam: conforme observado por Gowers, grandes modelos de linguagem como o ChatGPT têm um “conhecimento enciclopédico de matemática”. Além disso, podem seguir um grande número de linhas de investigação especulativas, mesmo aquelas que provavelmente não levarão a lado nenhum, sem restrições de tempo humano.
Este último parece ser o que proporcionou a chave do sucesso aqui. Em retrospectiva, parece que um especialista, com um pequeno número de dicas, provavelmente conseguiria chegar à mesma prova. Como observa Gowers:
“Muitas das ideias necessárias para a prova já estavam presentes na literatura, e para tais ideias não é necessária nenhuma dica, uma vez que o especialista está ciente dessa peça de literatura, ou uma dica altamente genérica de ‘procure’ seria suficiente.”
Momentos de lâmpada
A questão mais difícil é até que ponto a IA pode contribuir para saltos conceptuais genuínos. Estes momentos agudos de perception, onde um momento luminoso reformula um problema de uma forma inteiramente nova, são frequentemente vistos como a parte mais humana da matemática.
Estes saltos são difíceis de formalizar e ainda mais difíceis de prever. Ainda não está claro se os modelos de IA podem replicá-los, mesmo com os avanços recentes.
O que está claro é que os modelos de IA estão a causar uma mudança sísmica na forma como a matemática é descoberta.
Durante séculos, o progresso na matemática dependeu quase inteiramente da criatividade e da persistência humanas. Agora, pela primeira vez, os investigadores estão a trabalhar ao lado de sistemas capazes de explorar autonomamente enormes espaços de ideias e contribuir para problemas que antes se pensava serem acessíveis apenas ao conhecimento humano.
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